Городская олимпиада 8 класс

1997 год

1.       Шахматист, сыграв 40 партий, набрал в сумме 25 очков. (За каждую победу давалось 1 очко, за ничью ½ очка, за поражение – 0 очков).
Найдите разность между числом побед этого шахматиста и числом его поражений.

2.      Найдите все наборы ненулевых цифр a, b, c, для которых выполняется равенство
,
где  обозначает число: «a целых и b десятых».

3.      АЕ – биссектриса треугольника АВС, точка D лежит на стороне АС таким образом, что . Докажите, что DE – биссектриса угла BDC.

4.      На Марсе 2000 стран, причём из любых четырёх стран найдётся по крайней мере одна страна, которая дружит со всеми 3 странами из этой четвёрки. Найдите наименьшее возможное количество стран на Марсе, которые дружат со всеми странами. 

 

1998 год

1.      Сумма 3 трёхзначных чисел  равна 1998. Найдите все тройки таких чисел.

2.      Будет ли число 11…155…56, в котором 1998 единиц и 1997 пятёрок, квадратом целого числа?

3.      Через точки касания вписанной в треугольник окружности со сторонами этого треугольника провели прямые параллельно биссектрисам противолежащих углов. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

4.      На доске 4 х 4 играют двое. Ходят по очереди, и каждый игрок своим ходом зачёркивает одну клетку, каждую клетку можно зачеркнуть один раз. Игрок проигрывает, если после его хода получается квадрат 2 х 2 из зачёркнутых клеток. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш – тот, кто ходит первым или его соперник? Ответ обоснуйте.  

 

1999 год

1.      Решите уравнение

2.      Существуют ли такие целые числа m и n, что
(m + 1998)(m + 1999) + (m + 1999)(m + 2000) + (m + 1998)(m + 2000) = n²?

3.      Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. Известно, что биссектриса угла АВС пересекает среднюю линию трапеции в точке Р, а основание AD в точке Q. найдите величину угла APQ.

4.      Дано 1999 чисел. Известно, что сумма любых 99-ти из этих чисел положительна. Докажите, что сумма всех данных чисел тоже положительна.

 

2000 год

1.      Докажите, что число 19991999 + 19991998*19991999*19992000 является кубом целого числа.

2.      На дне озера бьют с постоянной мощностью источники. Стадо из 12 слонов выпивает озеро за 4 минуты, а стадо из 9 слонов – за 6 минут. В некоторый день к озеру подошли 6 слонов. За сколько минут они выпьют всю воду из этого озера? (Объём воды в озере в начале водопоя всегда один и тот же).

3.      Дана трапеция ABCD, в которой AB||CD, AB > CD. Известно, что в этой трапеции расстояние между серединами оснований равно расстоянию между серединами диагоналей. Докажите, что угол ADB – тупой.

4.      Существуют ли целые числа m и n, такие что 7m² – 5n² = 2000 ?

5.      Коля и Серёжа играют в игру, поочерёдно записывая целые числа в клеточки таблицы размерами 7 х 9 (7 строк, 9 столбцов). Первым делает свой ход Коля. За один ход записывается одно число в свободную клеточку; игра длится, пока числа не заполнят всю таблицу. Потом подсчитываются значения S₁, S₂,…, S₇ – суммы чисел в строках таблицы. Если среди чисел S₁, S₂,…, S₇ чётных больше, чем нечётных, выигрывает Коля. В противном случае – Серёжа. Кто из игроков может обеспечить себе выигрыш?